Fungsi Komposisi dan Jenis Masalahnya

Sebuah fungsi bisa diibaratkan sebagai sebuah mesin. Kalau mesin mengubah bahan mentah menjadi bahan jadi, sedangkan fungsi bisa mengubah suatu himpunan yang satu menjadi himpunan yang lain. Untuk mengubah suatu bahan mentah menjadi bahan jadi mungkin dibutuhkan sebuah mesin atau lebih. Begitu pun dengan fungsi. Suatu himpunan bisa dipetakan oleh sebuah fungsi atau lebih. Misalkan kita akan mengubah kentang menjadi snack yang menarik. Tentunya minimal kita memerlukan mesin pengupas kentang, mesin penggoreng kentang, dan mesin pengemasnya. Untuk memproduksi snack berbahan dasar kentang tersebut, urutan pengerjaannya tidak bisa ditukar. Nah, fungsi komposisi bisa diibaratkan dengan mesin yang banyak tersebut. OK, kita mulai pembahasan tentang fungsi komposisi berikut ini.

Misalkan saya mempunyai himpunan A, himpunan B, dan himpunan C. Saya juga mempunyai dua buah fungsi yaitu g yang memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi f yang memetakan himpunan B ke himpunan C. Bila digambarkan dalam diagram panah akan menjadi seperti berikut.

Fungsi yang memetakan himpunan A langsung ke himpunan C dinamakan dengan fungsi komposisi f terhadap g yang ditulis sebagai . Dari penjelasan tersebut, diperoleh definisi dari fungsi komposisi sebagai berikut.

Ada tiga masalah utama dalam pembahasan fungsi komposisi ini, yaitu sebagai berikut.

  • Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisinya.
  • Diketahui fungsi f dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi g.
  • Diketahui fungsi g dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi f.

Kunci utama untuk menyelesaikan masalah pada fungsi komposisi adalah dengan menggunakan definisi fungsi komposisi.

Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisi keduanya.
Pada kasus ini, fungsi f dan fungsi g diketahui. Yang menjadi pertanyaan mungkin komposisi f terhadap g atau sebaliknya. Ingat ya, operasi komposisi fungsi ini tidak berlaku komutatif. Jadi, perhatikan permasalahannya supaya tidak tertukar.

Contoh soal:
Diketahui fungsi f(x) = 2x - 3 dan fungsi . Tentukan fungsi komposisi berikut ini.
a.
b.
c.
d.
Jawaban a

Jawaban b

Jawaban c
Untuk jawaban c bisa didapatkan dengan substitusi langsung ke jawaban a. Bila soal diberikan secara langsung tanpa bertahap seperti contoh ini, kita bisa menyelesaikan secara lebih mudah sebagai berikut.

Jawaban d
Sama dengan penjelasan jawaban c. Soal ini bisa diselesaikan dengan cara langsung tanpa perlu mencari fungsi komposisinya terlebih dahulu.

Sponsor

Definisi fungsi komposisi ibarat bumbu-bumbu yang harus diracik sehingga dapat dijadikan sajian jawaban soal yang sistematis dan benar. Begitu pun dengan fungsi komposisi. Rumusnya sederhana tapi soalnya tidak selalu sederhana.

Pada pembahasan di atas, telah dibahas poin pertama yaitu masalah fungsi komposisi jika diketahui kedua fungsi dan ditanyakan komposisinya. Nah, sekarang akan dibahas dua poin terakhir, yaitu masalah fungsi komposisi yang diketahui fungsi kompoisisi dan salah satu fungsinya, sedangkan fungsi yang satunya lagi ditanyakan. Misalnya diketahui fungsi f dan fungsi , ditanyakan fungsi g, atau yang diketahuinya fungsi g ditanyakan fungsi f. Bagaimana menyelesaikannya? Simak pembahasan berikut ini.

Diketahui fungsi f dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi g
Misal saya punya soal sebagai berikut.

Diketahui f(x) = 2x + 1 dan , tentukan fungsi g(x).
Saya katakan bahwa soal tipe ini termasuk soal mudah, karena kita tidak akan menemukan masalah di dalamnya. Untuk menyelesaikannya selalu ingat definisi fungsi komposisi.

Ingat kembali bahwa kunci untuk menyelesaikan fungsi komposisi adalah dengan menggunakan definisi fungsi komposisi. Oke, langsung saja berikut ini adalah pembahasan jawaban dari soal di atas.

Diketahui fungsi g dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi f
Perbedaan jenis soal yang ini dengan soal yang sebelumnya adalah terletak pada posisi fungsi yang diketahui dan yang ditanyakan. Soal di atas relatif lebih mudah diselesaikan dibanding dengan tipe soal ini. Tapi selalu ingat, apapun soal fungsi komposisinya, gunakan definisi fungsi komposisi untuk menyelesaikannya. Simak contoh soal berikut.

Diketahui g(x) = 3x - 5 dan , tentukan f(x).
Jawaban:

Sampai di sini, kita menemukan masalah. Untuk menyelesaikannya kita bisa menggunakan konsep fungsi invers yang akan dibahas setelah bab ini. Tapi kita bisa juga menyelesaikan tanpa konsep invers, caranya adalah dengan memisalkan fungsi yang dipetakan oleh f (pada kasus ini, fungsi yang dipetakan oleh f adalah g(x) = 3x - 5) oleh satu peubah.

Sekian pembahasan mengenai fungsi komposisi beserta jenis soal dan pembahasannya. :-)

Oleh Opan
Dibuat 25/06/2013
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.


Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library