Integral Fungsi Pecahan (Fungsi Rasional)

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan dimana pembilang dan penyebutnya masing-masing merupakan fungsi polinomial. Fungsi rasional yang dimaksud di sini adalah fungsi-fungsi yang berbentuk , dengan p(x) dan q(x) masing-masing fungsi polinomial berderajat m dan n dimana m<n. Secara umum, fungsi polinomial p(x) berderajat m dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut.

Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk menjadi bentuk yang lebih sederhana agar mudah untuk diintegralkan berdasarkan faktor dari polinomial q(x).

Perhatikan contoh berikut ini.

A dan B dapat dicari dengan menggunakan konsep kesamaan polinom berikut ini.

Menurut konsep kesamaan polinom jika ruas kiri sama dengan ruas kanan maka suku-suku sejenisnya adalah sama. Pada kasus ini kita melihat koefisien x dan konstanta pada pembilang.
2x + 1 = A(x - 2) + B(x - 1)
2x + 1 = (A + B)x - 2A - B
(A + B) = 2 dan -2A - B = 1
Dengan menggunakan penyelesaian sistem persamaan linear diperoleh nila A dan B sebagai berikut.
A = -3 dan B = 5

Gunakan teknik pengintegralan substitusi untuk menyelesaikan integral di atas.
misal u = x - 1 sehingga du = dx
misal v = x - 2 sehingga dv = dx

Dalam menguraikan bentuk fungsi rasional perlu dipahami aturan berikut ini.

  1. Untuk faktor dari q(x) yang berbentuk , penguraiannya sebagai berikut.
  2. Untuk faktor dari q(x) yang berbentuk , penguraiannya sebagai berikut.

Sponsor

Perhatikan contoh penguraian beberapa bentuk fungsi rasional berikut ini.

dengan A = B = D = 1 dan C = 0



dengan A = 4, B = -1, dan C = 2

dengan A = 1, B = -1, C = 3 D = -5 dan E = 0.

Untuk kasus nbm, yaitu derajat polinomial p(x) tidak kurang dari derajat polinomial q(x), sebelum diterapkan aturan penguraian di atas, perlu dilakukan penyederhanaan terlebih dulu. Perhatikan contoh berikut ini.
Dalam hal ini p(x) = x3 - 1 dan q(x) = x3 + x masing-masing merupakan fungsi polinomial berderajat 3.

Sumber: http://aimprof08.wordpress.com/2012/04/12/teknik-integral-integral-fungsi-rasional/
dengan modifikasi seperlunya.

Bagikan

Oleh Opan pada
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Kunjungan Halaman Bulan Ini
Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library