Pertidaksamaan Kuadrat dan Pertidaksamaan Rasional/Pecahan

Konsep pertidaksamaan berkaitan dengan penyelesaian berupa interval. Begitu pun dengan pertidaksamaan kuadrat dan pertidaksamaan rasional/pecahan. Kedua jenis pertidaksamaan ini memiliki kemiripan dalam menentukan himpunan penyelesaian. Perbedaan dari keduanya adalah terletak pada syarat bahwa untuk pertidaksamaan rasional/pecahan bagian penyebut tidak sama dengan nol.

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dan rasional didasarkan pada tanda hasil operasi perkalian dan pembagian bilangan bertanda (positif atau negatif). Pada perkalian atau pembagian bilangan bertanda, tanda hasil operasinya ditentukan oleh tanda bilangan yang dioperasikan. Jika dua bilangan bertanda yang dioperasikan memiliki tanda yang sama maka hasilnya positif. Tetapi jika dua bilangan bertanda yang dioperasikan memiliki tanda yang berbeda maka hasilnya negatif.

Secara umum, penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dan rasional prosedurnya sama, yaitu dengan cara (1) memfaktorkan, (2) menentukan akar-akar (pembuat nol) dari masing-masing faktor, (3) menentukan tanda pada interval-interval yang dibatasi oleh akar-akar (pembuat nol), dan (4) menentukan interval yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan.

Agar lebih jelas, langsung saja ke contoh penyelesaian soal berikut ini.

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut
x2+3x-10<0

Langkah pertama untuk menyelesaikan pertidaksamaan di atas adalah menentukan faktor.
(x-2)(x+5)<0
Jika Kamu masih bingung menentukan faktor, silakan pelajari melalui halaman ini.
Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Langkah berikutnya adalah menentukan akar-akar atau pembuat nol.
x=2 atau x=-5

Langkah berikutnya lagi menentukan tanda pada interval-interval yang dibatasi oleh akar-akar.
+++(-5)---(2)+++

Tanda positif/negatif di atas diperoleh dengan cara mengambil bilangan pada interval yang dibatasi akar-akar kemudian substitusi ke persamaan kuadrat di atas. Misal, di sebelah kanan 2 (salah satu akar) ada bilangan 3, hasil substitusi bilangan 3 ke persamaan kuadrat (x-2)(x+5) memberikan hasil bilangan positif, beri tanda positif pada interval di sebelah kanan 2. Antara -5 dan 2 ada bilangan 0, hasilnya berupa bilangan negatif. Begitu pun dengan interval di sebelah kiri -5.

Langkah terakhir adalah menentukan interval yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan. Pada contoh di atas pertidaksamaannya <0, artinya interval yang diambil adalah interval yang memberikan tanda negatif. Dengan demikian, penyelesaiannya pertidaksamaan pada contoh di atas berada di antara -5 dan 2. Dalam notasi, ditulis sebagai berikut.
HP={x|-5 < x < 2, x anggota bilangan real}

Sponsor

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional/pecahan di atas sama dengan pembahasan di awal, dengan catatan pastikan dulu salah satu ruas dari pertidaksamaan adalah 0. Jika masing-masing ruas tidak 0, pindahkan salah satu ruas sehingga salah satu ruas menjadi 0.

Faktor dari pertidaksamaannya sudah sederhana, yaitu (x-2) dan (x+3). Akar-akarnya adalah x=2 dan x=-3. Tanda pada interval yang dibatasi oleh akar-akarnya adalah sebagai berikut.
+++(-3)---[2]+++
HP={x|-3 < x ≤ 2, x anggota bilangan real}
Perhatikan bahwa x=2 termasuk dalam penyelesaian, tetapi x=-3 tidak. Nilai x=2 masuk dalam penyelesaian karena disesuaikan dengan tanda pertidaksamaan pada soal. Tetapi x=-3 tidak termasuk dalam penyelesaian karena merupakan akar/pembuat nol pada penyebut. Ingat bahwa penyebut pecahan tidak boleh sama dengan nol agar pecahan terdefinisi.

Jika salah satu ruas dari tanda pertidaksamaan tidak nol maka harus dibuat salah satu ruasnya menjadi nol. Setelah itu selesaikan dengan metode pertidaksamaan seperti biasa. Perhatikan contoh berikut ini.

Catatan tambahan
Tanda untuk interval di sebelah kiri dan kanan akar dari faktor yang berpangkat ganjil selalu berbeda. Hal ini membuat penentuan tanda menjadi lebih mudah. Pada contoh pertidaksamaan kuadrat di atas, masing-masing faktor (x-2) dan (x+5) berpangkat 1 (ganjil). Interval sebelah kanan 2 bertanda positif, perhatikan bahwa secara bergantian ketika melewati akar tanda pada interval berubah. Itu karena sifat bahwa tanda di sebelah kiri dan kanan akar dari faktor yang berpangkat ganjil selalu berbeda. Jika di satu sisi positif maka di sisi lainnya negatif. Sedangkan jika terdapat faktor berpangkat genap, tanda di sebelah kiri dan kanan pada interval akarnya tidak berubah. Contohnya sebagai berikut.
(x+3)(x-1)(x-4)2
Akar-akar dari faktor-faktor di atas adalah x=-3, x=1, dan x=4. Jika ternyata tanda di sebelah kanan x=4 adalah positif, maka tanda-tanda pada interval lainnya adalah sebagai berikut.
+++(-3)---(1)+++(4)+++

Semoga bermanfaat.

Bagikan

Oleh Opan pada
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Kunjungan Halaman Bulan Ini
Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library