Teknik Integral Parsial

Satu lagi teknik integral yang digunakan ketika integran tidak dapat diintegralkan hanya dengan definisi integral (antiturunan), yaitu integral parsial. Teknik integral parsial ini adalah salah satu dari teknik integral yang telah dibahas sebelumnya. Teknik integral parsial ini didasarkan pada pengintegralan turunan hasil kali dua fungsi. Coba perhatikan bagaimana rumus integral parsial diturunkan dari rumus turunan hasil kali dua fungsi sebagai berikut.

Jika y=U(x)V(x) maka


Jika y diganti dengan UV maka (i) dapat ditulis menjadi:


maka (ii) dapat ditulis menjadi:

Persamaan (iii) dapat juga ditulis menjadi:

Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (iv) maka akan diperoleh rumus sebagai berikut:

Rumus di atas merupakan rumus integral parsial.

Untuk menyelesaikan integral dengan integral parsial yang perlu diperhatikan adalah pemilihan U dan dV. Fungsi yang dimisalkan U adalah fungsi yang kalau diturunkan terus-menerus menghasilkan 0(nol). Sedangkan fungsi yang dimisalkan dengan dV adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan dua contoh di bawah ini.

Contoh:


Pada hasil akhir penyelesaian integral dengan teknik integral parsial tidak terdapat lagi bentuk integral. Kalau masih terdapat bentuk integral, maka harus diselesaikan terlebih dahulu. Mungkin saja penyelesaiannya menggunakan integral parsial lagi. Dengan demikian, dalam satu soal bisa saja penyelesaiannya menggunakan dua atau lebih integral parsial di dalamnya. Untuk merasakan bagaimana penyelesaian satu soal integral menggunakan beberapa kali integral parsial, coba selesaikan soal berikut.

Alternatif penyelesaian integral parsial bisa dengan menggunakan teknik Tanjalin. Berikut ini saya deskripsikan bagaimana pemakaian teknik ini.
Tadi, kita ketahui bahwa bentuk integral yang akan diselesaikan adalah . Kita bagi dua bagian yaitu U dan dV, pilih U sebagai fungsi yang kalau diturunkan terus-menerus menghasilkan 0 dan dV sebagai fungsi yang bisa diintegralkan. Kemudian, sajikan dalam bentuk tabel seperti berikut.

Sponsor

Tanda Turunkan Integralkan
+ dV
- U'
tanda +/- selang-seling Terus turunkan U sampai hasilnya 0 Terus integralkan sampai sebaris dengan hasil turunan kesekian U sama dengan 0
baris terakhir 0 Integral kesekian dari dV

Langkah terakhir adalah mengalikan baris ke-1 di kolom U dengan baris ke-2 di kolom dV Tandanya +. Jumlahkan dengan hasil kali baris ke-2 kolom U dan baris ke-3 kolom dV, tandanya -. Dan seterusnya sampai baris terakhir. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Kita selesaikan soal .

Tanda Turunkan Integralkan
Baris Terakhir 0

Jumlahkan hasil kali fungsi baris ke-n pada kolom kedua dengan fungsi baris ke-(n+1) pada kolom ketiga, tanda pada kolom pertama juga diikutsertakan. Saya sajikan fungsi-fungsi yang dikalikan menjadi satu warna. Jumlahkan hasil kali fungsi-fungsi yang sewarna (termasuk tandanya juga).

Oleh Opan
Dibuat 29/04/2011
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.


Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library