Pembuktian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah proses pembuktian pernyataan yang berlaku untuk semua anggota bilangan asli. Pernyataan yang memerlukan pembuktian induksi matematika di antaranya berupa deret, keterbagian, dan ketidaksamaan. Melalui prinsip induksi matematika, kita tidak perlu membuktikan suatu pernyataan yang berbentuk deret misalnya, dengan menjumlahkan satu persatu anggota barisannya secara manual.

Berikut adalah prinsip pembuktian menggunakan induksi matematika.

  1. Buktikan benar untuk n=1
  2. Misalkan benar untuk n=k
  3. Buktikan benar untuk n=k+1

Sebenarnya ketiga langkah di atas bisa disederhanakan hanya menjadi dua langkah saja. Langkah kedua dan ketiga merupakan satu kesatuan karena langkah ketiga bergantung pada langkah kedua.

Pembuktian Induksi Matematika pada Deret

Buktikan bahwa untuk setiap n anggota bilangan asli berlaku deret beserta rumusnya sebagai berikut.

1+2+3+...+n=n+n2
2

Langkah Pertama Misal n=1

1=1+12
2
1=2
2
1=1

Pernyataan di atas benar untuk n=1

Langkah Kedua Misal pernyataan di atas benar untuk n=k

1+2+3+...+k=k+k2
2

Langkah Ketiga Buktikan pernyataan di atas benar untuk n=k+1

1+2+3+...+k+k+1=k+k2+k+1
2

Pada langkah ini, bentuk yang diperoleh pada langkah sebelumnya, yaitu untuk n=k kembali digunakan.

1+2+3+...+k+k+1=k+k2+2k+2
2
1+2+3+...+k+k+1=k+1+k2+2k+1
2
1+2+3+...+k+k+1=(k+1)+(k+1)2
2

Dari langkah terakhir terlihat bahwa jika pernyataan di atas berlaku untuk n=k maka berlaku juga untuk n=k+1. Jadi, terbukti bahwa pernyataan di atas benar untuk semua n anggota himpunan bilangan asli.

Pembuktian Keterbagian

Buktikan bahwa untuk setiap n anggota bilangan asli, n3+2n habis dibagi oleh 3.

Perhatikan baik-baik langkah-langkah pembuktian beserta penjelasannya.

Misal n=1,
13+2(1)=1+2=3
Karena 3 habis dibagi 3, pernyataan di atas benar untuk n=1.

Misal pernyataan di atas benar untuk n=k.
Berarti kita asumsikan bahwa k3+2k habis dibagi 3. Kita juga bisa mengatakan bahwa k3+2k merupakan bilangan kelipatan 3. Agar lebih sistematis dan berguna untuk langkah pembuktian berikutnya, kita ubah menjadi kalimat matematika berikut ini.
k3+2k=3a dengan a∈Bil.Asli

Akan dibuktikan bahwa pernyataan ini benar juga untuk n=k+1. Pada langkah ketiga ini kita perlu menunjukkan bahwa jika n disubstitusi oleh k+1 akan menghasilkan bilangan yang habis dibagi 3 (kelipatan 3), sesuai dengan tujuan pembuktian keterbagian oleh 3 (habis dibagi 3). Pada langkah ketiga ini, kita bisa memanfaatkan hasil yang diperoleh pada langkah kedua.

(k+1)3+2(k+1)
=k3+3k2+3k+1+2k+2
=k3+2k+3k2+3k+3
=3a+3k2+3k+3
=3(a+k2+k+1)

Bentuk terakhir yang diperoleh merupakan kelipatan 3. Jadi, terbukti bahwa n3+2n habis dibagi oleh 3 untuk setiap n anggota bilangan asli.

Pembuktian Ketidaksamaan

Buktikan bahwa (n+1)2<2n2 untuk setiap n≥3 dan n anggota bilangan asli.

Karena pernyataan memuat syarat n≥3 maka langkah pertama pembuktian menggunakan n=3, bukan n=1 seperti yang digunakan sebelumnya.

Misal n=3
(3+1)2<2(3)2
16<18
Pernyataan benar untuk n=3

Misalkan pernyataan benar untuk n=k
(k+1)2<2k2

Mari kita buktikan untuk n=k+1
Pada langkah ketiga ini, kita cukup mengambil salah satu ruas dari tanda pertidaksamaan. Bisa ruas kiri saja atau ruas kanan saja. Selanjutnya kita tunjukan bahwa dengan memanfaatkan langkah kedua dan prinsip ketidaksamaan, kita bisa menunjukkan pernyataan di atas berlaku untuk n=k+1.

Tujuan akhirnya adalah menampilkan pernyataan berikut.
((k+1)+1)2<2(k+1)2

((k+1)+1)2=(k+1)2+2(k+1)+1

Karena (k+1)2<2k2 (dari pernyataan sebelumnya) maka
(k+1)2+2(k+1)+1<2k2+2k+2+1

Sampai langkah ini, diperoleh ketidaksamaan
((k+1)+1)2<2k2+2k+1+2

Karena 2k+1<4k maka ketidaksamaan di atas bisa ditulis menjadi
((k+1)+1)2<2k2+4k+2
((k+1)+1)2<2(k2+2k+1)
((k+1)+1)2<2(k+1)2

Bentuk terakhir menunjukkan hasil akhir yang ingin diperoleh. Berarti, pernyataan (n+1)2<2n2 untuk setiap n≥3, n anggota bilangan asli terbukti benar.

Langkah kunci dari pembuktian induksi matematika terletak pada langkah ke-3, yaitu membuktikan bahwa jika pernyataan benar untuk n=k maka benar juga untuk n=k+1. Untuk menyelesaikan langkah ini diperlukan keterampilan dan kreativitas. Jangan sampai kita menyatakan bahwa pernyataan salah karena kesalahan kita dalam membuktikan. Oleh karenanya, perlu sering berlatih mengenai konsep dasar aljabar.

Langkah terakhir proses pembuktian induksi matematika selalu memanfaatkan langkah sebelumnya (langkah kedua, asumsi bahwa pernyataan benar untuk n=k). Perhatikan baik-baik polanya dalam menyelesaikan proses pada saat menyelesaikan langkah ini.

Tips lainnya adalah selalu berpedoman pada bentuk pernyataan sehingga kita bisa menentukan bentuk akhir pembuktian. Fokuskan proses yang dilakukan untuk mencapai bentuk akhir yang diinginkan.

Semakin banyak berlatih, materi induksi matematika akan menjadi materi yang menyenangkan serta menantang.

Oleh Opan
Dibuat
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library