Persamaan, Fungsi dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah suatu operasi uner dalam matematika yang berfungsi mengubah apa pun bilangan yang dioperasikan, baik bertanda positif atau negatif menjadi bilangan positifnya. Berikut penjelasan lengkap mengenai pengertian atau definisi nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, pertidaksamaan nilai mutlak, dan penyelesian masalah yang berkaitan dengan nilai mutlak.

Definisi Nilai Mutlak

Sesuai dengan kalimat pembuka sebelumnya, bilangan yang dioperasikan oleh nilai mutlak memberikan hasil yang selalu positif. Notasi dari nilai mutlak x berbentuk |x| (x diapit oleh dua garis sejajar) atau abs(x) dalam bahasa pemrograman secara umum. Definisi resminya adalah sebagai berikut.

Maksud dari definisi di atas adalah jika x bertanda positif maka nilai mutlaknya adalah x itu sendiri. Sedangkan jika x bertanda negatif maka nilai mutlaknya adalah bilangan positifnya.

Dalam bentuk lain, nilai mutlak juga dapat dinyatakan sebagai akar dari bilangan kuadrat sebagai berikut.

|x|=√x2

Persamaan Nilai Mutlak

Penyelesaian persamaan nilai mutlak dapat menggunakan definisi di atas. Berikut contoh sederhananya.

|x|=3
Penyelesaiannya adalah x=3 atau x=-3
Penyelesaian persamaan di atas ada dua bilangan karena nilai mutlak yang hasilnya 3 adalah nilai mutlak dari 3 atau nilai mutlak dari -3. Karena keduanya memberikan hasil yang sama, yaitu 3 (bertanda positif).

Penyelesaian di atas bisa juga diperoleh menggunakan akar dari kuadrat x seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya.
|x|=3
x2=3
x2=32
x2-32=0
(x-3)(x+3)=0
x=3 atau x=-3

Secara umum, penyelesaian persamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut.
|x|=a ⇔ x=a atau x=-a

Jika terdapat bentuk pesamaan lain persamaan nilai mutlak, penyelesaiaannya dikembalikan kepada bentuk umum di atas. Berikut beberapa contoh penyelesaian dari variasi persamaan nilai mutlak.

2|x|-7=0
2|x|=7
|x|=7/2
x=7/2 atau x=-7/2

|x|2+2|x|-15=0
(|x|+5)(|x|-3)=0
|x|=-5 (tidak ada penyelesaian, karena nilai mutlak tidak mungkin negatif)
|x|=3 ⇔ x=3 atau x=-3

Fungsi Nilai Mutlak

Pada koordinat kartesius, kurva fungsi mutlak tidak ada yang berada di bawah sumbu X kecuali jika tanda mutlaknya diterapkan pada suku-suku.

Contoh, fungsi berbentuk f(x)=|2x+5| grafiknya tidak ada yang berada di bawah sumbu X.

Sedangkan jika fungsinya berbentuk g(x)=x2+3|x|-10 kurvanya tetap ada yang di bawah sumbu X.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas bagaimana persamaan nilai mutlak beserta penyelesaiannya. Hampir mirip dengan persamaan, penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak dapat dilakukan dengan definisi atau menggunakan operasi akar.

Secara umum, penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak sederhana adalah sebagai berikut.

  • |x|<a ⇒ -a<x<a
  • |x|>a ⇒ x<-a atau x>a

Berikut pembuktian dari penyelesaian umum di atas.

|x|<a
x2<a
x2<a2
x2-a2<0
(x-a)(x+a)<0
-a<x<a

Untuk penyelesaian umum bentuk yang satunya lagi, silakan sebagai latihan.

Berikut contoh penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak yang diselesaikan menggunakan penyelesaian umum di atas.

|x-2|>5
x-2<-5 atau x-2>5
x<-3 atau x>7

Berikut contoh soal lainnya mengenai pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak beserta penyelesaiannya

Sekian pembahasan sederhana mengenai konsep nilai mutlak secara umum. Semoga dapat membantu mempelajari konsep dasar materi ini.

Tulisan ini terkait dengan tulisan pada kategori Latihan Soal, Pertidaksamaan.

Oleh Opan
Dibuat
Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung.

Protected by Copyscape CodeCogs - An Open Source Scientific Library